درس تخصصی مبانی دیجیتال دانشجویان الکتروتکنیک
فصل اول
سیستم اعداد
سیستم اعداد :
اعداد اعشاری ( 9 تا 0 ) مبنای ده دهی – دسیمال d
124 = 1 × 100 + 2 × 10 + 4 × 1 (124 ) در مبنای ده
= 1 × 10² + 2 × 10 + 4 × 1 10
= 100 + 20 + 4 = 124
مبنای باینری – دو دویی ( 1 – 0 )
در مبنای دو ( 110010 )
(18) → ( 10010 ) 2
d 10 b 2
18 ∟
(135) → ( 10000111 )
d 10 b 2
تبدیل باینری به اعشاری :
( 1101 ) → ( 13 )
2 10
اوکتال : (7 تا 0 ) مبنای هشت O
(356) → ( 011101110 )
O 8 b 2
(001110011) → ( 163 )
2 8
تبدیل اعشاری به اوکتال
(159) → ( 237 )
10 8
باینری | Hex | اعشاری |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
10 | 2 | 2 |
11 | 3 | 3 |
100 | 4 | 4 |
101 | 5 | 5 |
110 | 6 | 6 |
111 | 7 | 7 |
1000 | 8 | 8 |
1001 | 9 | 9 |
1010 | A | 10 |
1011 | B | 11 |
1100 | C | 12 |
1101 | D | 13 |
1110 | E | 14 |
1111 | F | 15 |
اعداد اوکتال : (7 – 0 ) مبنای هشت
مثال : تبدیل اکتال به باینری :
(356) → ( 011101110 )
8 2
مثال : تبدیل باینری به اکتال
( 11001001 ) = ( 311 )
2 8
نکته : سه بیتی از سمت راست سه تا سه تا جدا کرده اگر آخری یک رقم کم داشت یک صفر اضافه می کنیم
کد هگزا دسیمال ( 16- 0 یا f - 0 ) مبنای شانزده با علامت اختصاری H (Hex)
مثال : تبدیل از هگزا به باینری
( 3FB ) → ( 001111111011 )
16 (H) 2 (b)
مثال : تبدیل باینری به هگزا
( 110011100010 ) → ( CE2 )
2 16
نکته : چهار بیتی از سمت راست چهار تا چهار تا جدا کرده و تبدیل می کنیم
مثال :( A5B ) → ( )
16 8
برای تبدیل از هگزا به اوکتال ابتدا از هگزا به باینری تبدیل کرده بعد از باینری به اوکتال تبدیل می کنیم
( A5B ) → ( 5133 )
8 16
4 بیتی ( 101 001 011 011 ) 3 بیتی
5 1 3 3 2
مثال : ( 3652 ) → ( )
8 16
برای تبدیل از اکتال به گزرا ابتدا از اوکتال به باینری و بعد از باینری به هگزا تبدیل می کنیم
( 3652 ) → ( 7AA )
8 16
3 بیتی ( 0111 1010 1010 ) 4 بیتی
7 A A
لاتین | فارسی | نشانه اختصاری | مبنا |
Octal | اوکتال | O | 8 |
binary | باینری | b | 2 |
Hex | هگزا | H | 16 |
decimal | دسی مال | d | 10 |
جمع و تفریق اعداد باینری:
4 + 100 +
5 ≡ 101
─ ──
9 1001
نکته : جمع 1 و 1 می شود 2 و 2 در جدول می شود 10 که 10 را بجای 2 می نویسیم
8 + 1000 +
4 ≡ 0100
─ ───
12 1100
نکته : وقتی جمع می بندیم اگر یک سه بیتی با یک چهار بیتی را جمع بستیم باید به سه بیتی یک صفر اضافه کنیم تا تبدیل به چهار بیتی شود
تبدیل اعشاری به باینری
29 ∟
28 14 ∟
1 14 7 ∟
0 6 3 ∟
1 2 1
1
از سمت راست به چپ اعداد را می نویسیم 11101
با استفاده از از مکمل 1 one compliments ( 1’S )
تفریق اعداد باینری :
با استفاده از از مکمل 2 two compliments ( 2’S )
مکمل 1 : یعنی اینکه صفر ها به یک تبدیل شوند و یک ها به صفر تبدیل شوند
(1101) →1’S→ (0010)
مکمل 2 : یعنی اینکه ابتدا مکمل 1 را باید بدست بیاوریم و با عدد 1 جمع کنیم
(1101) →2’S→ (0011)
مکمل 1 (0010)
. 1 +
0011
تفریق با استفاده از مکمل یک :
A 5 - → 101 - → 101
B 3 → 011 1’S→ 100
2 1001
کری C
برای اینکه جواب صحیح پیدا شود باید عدد کری را به پایئن انتقال داد و با آن جمع کنیم 1001
001
1 +
010
010 در جدول همان عدد 2 است
3 - → 011 - → A → خودش → A 011
5 → 101 → B → 1’S→ -B 010 +
-2 101 1’S→ - 010
-2
نکته : اگر کری به وجود نیامد از اعداد بدست آمده یک بار دیگر مکمل یک می گیریم و لی اینبار با علامت منفی
تفریق با استفاده از مکمل 2
A 5 - → 101 - → 101
B 3 → 011 2’S→ 101
2 1010
کری C
011 1’S→ 100 +
. 1
101
نکته : در مکمل 2 اگر کری بوجود آمد کری را حذف می کنیم
3 - → 011 - → A → خودش → 011
5 → 101 → B → 2’S→ 011 +
-2 110
101 1’S→ 010 +
. 1
011
چون کری وجود ندارد یک بار دیگر از عدد مکمل 2 می گیریم و لی این بار با علامت منفی
110 2’S→ 001 +
. 1
- 010 => - 2
قوانین جبربول :
1- قانون بسته بودن : عملیات منطقی نسبت به جمع و ضرب منطقی بسته است یعنی ورودی می تواند 0 یا 1 [ 0 , 1 ] باشد و خروجی نسبت یکی از حالتهای [ 0 , 1 ] است
2- قانون جابجائی : x + y = y + x 0 + <= 1 +
1 0
1 1
3- قانون شرکت پذیری :
x . ( y + z ) = y . ( x . z ) = z . ( x . y ) هیچ فرقی ندارد که به چه شکل نوشته شود
4- توزیع پذیری :
X . ( y + z ) = ( x . y ) + ( x . z )
X + ( y . z ) = ( x + y ) . ( x + z )
سه منطق اصلی وجود دارد :
1- ضرب منطقی
2- جمع منطقی
3- معکوس
ضرب منظقی AND ( و )
A , B F = A . B AND گیت A B
0 0 0 A
0 1 0 B F = AB شکل کلیدی
1 0 0
1 1 1
تعداد متغیر ها n = 2 تعداد حالات N = 2 = 2² = ³ ( 0 تا N-1 ) ( 0 تا 3 )
جمع منطقی OR ( یا )
.A
A , B F = A + B OR گیت B
0 0 0 A
0 1 1 B F = AB شکل کلیدی
1 0 1
1 1 1
منطق معکوس NOT
گیت NOT
A F = A ( آنات ) A F = A
0 1
1 0 شکل کلیدیA
5- عضو خنثی : X + 0 = X x یک متغیر است و با صفر جمع منطقی ( OR ) شود می شود خودش پس در ( OR ) صفر عضو خنثی است
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
X , 0 = X
X یک متغیر است وبا یک ضرب منطقی (AND) شود می شود خود x پس در AND هر عددی با 1 ضرب شود می شود خودش . بنابراین 1 در AND یک عضو خنثی است
6- قانون دمورگان
در قانون دمورگان اگر AND باشد به OR تبدیل می شود و اگر OR باشد به AND تبدیل می شود
نات : یعنی معکوس نات
( x + y ) = x . y , ( x . y ) = x + y
روش اثبات از طریق جدول صحت
X . Y | y | x | ( x + y ) | X + Y | X , Y |
1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 1 |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 1 |
( x + y ) = x . y
7- دیگر قوانین
X + X = X , X . X = X
0 + 0 = 0 0 . 0 = 0
1 + 1 = 1 1 . 1 = 1
x + y + z + x + y = x + x + y + y + z = z + y + x
x y
هر تک متغیری که با NOT خودش OR شود می شود 1
هر تک متغیری که با NOT خودش AND شود می شود 0
x + x = 1 x . x = 0
0 + 1 = 1 0 . 1 = 0
1 + 0 = 0 1 . 0 = 0
x y + x y ≠ 0
روش اثبات از طریق جدول صحت
X Y + x Y | X Y | X Y | Y | X | X , Y |
1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 1 |
دو حالت صفر نیست پس x y + x y ≠ 0
هر متغیری که با یک OR شود می شود 1
X +1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1
هر چند متغیر هم وجود داشته باشد که با یک جمع شود جواب می شود یک x + x y + y + 1 = 1
8- قانون فا کتور گیری :
x + x y = x . ( 1 + y )
x . 1 = x
=> x + xy = x
گاهی اوقات از متغیر های که مشترک داریم فاکتور می گیریم به شرط اینکه عبارت داخل پرانتز ساده شود
دیگر گیت های منطقی :
NAND :
یا | K = AB | A , B | |
1 1 1 0 | 0 0 0 1 | 0 0 0 1 1 0 1 1 |
NOR :
یا | K = A+B | A , B | |
1 0 0 0 | 1 1 1 1 | 0 0 0 1 1 0 1 1 |
XOR : ( OR انحصاری )
| A , B | ||
0 1 1 0 | 0 0 0 1 1 0 1 1 |
XOR : وقتی که تعداد 1 های ورودی فرد باشد و اگر همه خروجیها صفر باشد صفر می شود
در جبر گیت XOR می شود
XNOR :
یا | A , B | ||
1 0 1 0 | 0 0 0 1 1 0 1 1 |
همان XOR است که خروجی آن نات شده است
XNOR وقتی که تعداد خروجی های آنها زوج باشد خروجی یک است و وقتی همه خروجیها صفر باشد یک می شود
کشیدن شکل مداری از روی جبر بول
اولویت ها
1- پرانتز 2- NOT 3-AND 4- OR
تابع را رسم کنید
A
B
C
D
روش حل:
ابتدا را رسم کرده سپس B و C را با هم AND کرده بعد و Bc را با هم OR کرده , D را با مجموع داخل پرانتز AND کرده و در آخر هم نات می کنیم
مثال : تابع را رسم کنید
A
B
C
OR که نات شده می شود NOR
B,C با هم AND شده اند
AND که نات شده باشد می شود NAND
متمم توابع جبری :
مثال : متمم تابع را بدست آورید
متمم تابع را بدست آورید
ابتدا از داخل پرانتز شروع کرده و ساده می کنیم
آقا دمت واقعاً گرم خیلی دنبالش بودم .
سلام وممنون بخاطر مطالب قشنگت.
من رتم الکترونیک دیروز تو دانشگاه استادمون تفریق به روش مکمل ویاد داد ولی من هیچی یاد نگرفتم راستش میخواستم کمکم کنی.
3 10 5
+14 13 4
_____________
17 23 9
1
____________
17 23 10
16 16
________________
2 7 a
lمیتونی اینو به من یاد بدی البته این باید راست چین بشه اشتباهی چپ چین شد.