ریاضی عمومی

آموزش ریاضی عمومی بطور تکمیلی همراه با توضیح

تعبیر هندسی مشتق :

 مفهوم مشتق یک تابع را می توان شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه تعبیر کرد

Lim  f(a+h) – f (a)  =>

                  h

شیب خط مماس بر نمودار f در نفطه x = a را با  m(a) = f ´(a) نشان می دهیم

شیب خط قائم ( عمود) بر نمودار با m´(a) نشان می دهیم m´=  -1

      m                                                                        

مثال : معادله خط مماس و قائم بر منحنی    f(x) = x³ – 2x را در نقطه x = 1 بدست آورید

مشتق گیری ضمنی :

توابعی که بصورت واضح بر حسب y = f(x) تعریف نمی شوند برای محاسبه مشتق از رابطه زیر استفاده می کنیم

Y ´ = f ´(x) =  - fx   = x مشتق تابع نسبت به

                         fy      y مشتق تابع نسبت به

مثال : مشتق تابع زیر را بنویسید

F(x,y)=2x³ +xy² +y -3 = 0

روش دوم مشتق گیری ضمنی :

از همه جملات نسبت به x,y همزمان مشتق می گیریم سپس y ´ را بدست می آوریم

مثال :

F(x,y)=2x³ +xy² +y -3 = 0

مشتق تابع مرکب :

هرگاه f,g توابع مشتق پذبر باشند مشتق تابع مرکب fog نسبت به x با فرض  U = g(x) و y = fog (x) = f(u) به صورت زیر محاسبه می شود

 dy  =  df(u)  ×  du

 dx        du         dx

y = f(g(x) ) =>  y ´ = f ´(g(x) ) × g ´ (x)

یک بار مشتق f را بدست می آوریم ، یک بار مشتق داخل پرانتز(x)

مثال : اگر f (x) = √ x  و g (x) = x² + 5x باشد مشتق fog  = ؟

روش حل مشتق fog : ابتدا  f´(x) را حساب کرده بجای  x های f ´  مقدار g را قرار می دهیم .

 سپس در فرمول ( fog (x) ) ´ = f ´(g (x))g ΄ (x) جایگزاری می کنیم  g΄مشتق g است

مثال : اگر f (x) = x³ مشتق تابع f (sin x) را حساب کنید

مشتق گیری پارامتری :

                    X = f ( t )

 معادلات                   را معادلات یرامتریث گویند ( یعنی بر حب t نوشته شده است )

                   y = g ( t )

برای محاسبه dy ( همان مشتق ) در یک تابع پارامتری از روش زیر استفاده می کنیم

                 dx dy                                                                                                              

dy  =   dt  .

dt        dx

           dt

مثال : در تابع y = t² + 5      مقدار dy را بدست آورید

                   X = 2t + 1           dx

 قاعده زنجیره ای :

اگر  y = f ( u ) و u = g ( x) مشتق پذیر باشد آنگاه dy  =  df  ×  du

                                                                     dx      du     dx

مثال : f (u ) = 2u – 3u² + 7 و  u = 2x³ - x + 5  df  را حساب کنید

                                                                       dx

قضایای مشتق :

1-     f (x) = secX → f΄ (x) = secx . tgx

2-     f (x) = cscX → f΄ (x) = - csex . cotx

3-     f (x) = sin X → f΄ (x) =  .     1      .

                                              √ 1 - x

4-     f (x) = cos X → f΄ (x) = .   - 1      .

                                              √ 1 - x

5-     f (x) = tg X →  y΄ =  .   1    .

                                         1 + x²

6-     f (x) = cot X →  y΄ =  .  - 1    .

                                          1 + x²

7-     f (x) = sec X →  f΄ (x) =  .      1      .

                                              اxا √ x² - 1

8-     f (x) = sec X →  f΄ (x) =  .    - 1      .

                                              اxا √ x² - 1

9-     f (x) = sin hx → f΄ (x) =  cos hx

10- f (x) = cos hx → f΄ (x) =  sin hx

11- f (x) = tg hx → f΄ (x) =  1 – tgh²x

12- f (x) = cot hx → f΄ (x) =  1 – cot²x

کاربرد مشتق :

توابع سعودی و نزولی

قضیه آزمون یکتایی : فرض کنیم f در { a , b } پیوسته است و در بازه ( a , b )  مشتق پذیر باشد آنگاه به ازتی هر بازه a, b اگر F΄x مثبت باشد تابع سعودی است و به ازای هر باره a , b اگر F΄x منفی باشد تابع نزولی است

مثال : تعین کنید تابع زیر در چه نقاطی سعودی با نزولی است

F(x) = 3x² + 5

تعریف : نقطه a را نقطه بحرانی تابع f گ.یم هرگاه یکی از شرایط زیر برقرار باشد

1 ) : f΄ (a) = 0

2 ) : f΄ (a)  وجود نداشته باشد

مثال :نقطه بحرانی تابع زیر را پیدا کنید

F(x) = 2x³ -4

F(x) = (x-1)⅔ - 3

F(x) =    1   .

             x-2

F(x) = x³+3x²-2

ماکسیمم و مینیمم تابع :

تعریف : تابع f در نقطه  X=C یک ماکسیمم نسبی دارد یا موضعی دارد . یعنی همه مقادیر تابع از یک نقطه در تابع کوچکتر است

تعریف : تابع f در نقطه  X=C یک مینیمم نسبی دارد. یعنی همه مقادیر تابع از یک نقطه در تابع بزرگتر است

تعریف : اگر تابع f در نقطه X=C ماکسیمم و یا مینیمم نسبی داشته باشد F در C یک اکسترمم نسبی یا موضعی دارد . F(c) را مقدار اکسترمم نسبی f در نقطه X=C می نامیم

قضیه : اگر تابع f در X=C اکسترمم نسبی داشته باشد و F΄(c) موجود باشد آنگاه F΄(c) = 0 است

تعبیر هندسی نقاط اکسترمم :

اگر تابع f در نقطه x=c مشتق پذیر باشد و در این نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد آنگاه مماس بر نمودار  y=f(x) در نقطه ( C , F(c) ) افقی است

تذکر : عکس قشیه بالا برقرار نیست یعنی تابعی مانند f وجود دارد که F΄(x) به ازای مقادیری از x صفر است ولی تابع ماکسیمم یا مینیمم نسبی در این نقاط ندارد

مثال :

F(x) = ( x – 1 )³

نتیجه : فرض می کنیم f در نقطه c تعریف شده باشد شرط لازم برای اینکه تابع f در نقطه c اکسترمم داشته باشد این است که C نقطه بحرانی باشد یعنی مشتق در نقطه c صفر باشد یا اینکه مشتق در نقطه c موجود نباشد

قضیه آزمون مشتق اول برای اکسترمم نسبی : فرض کنید تابع  f دربازه بازی از نقطه بحرانی c مانند (a , b) پیوسته باشد و در تمام نقاط آن جز احتمالا در C مشتق پذیر باشد آنگاه این شرایط برقرار است

1-     اگر (x) ´ F در  ( a,b ) مثبت و در (a,b) منفی باشد آنگاه F در X = C ، ماکزیمم نسبی دارد

2-     اگر (x) ´ F در  ( a,b ) منفی و در (a,b) مثبت  باشد آنگاه F در X = C ، مینیمم نسبی دارد

3-     اگر 1 یا 2 بر قرار نباشد آزمون نتیجه ای ندارد و max و min ندارد

مثال : با استفاده از آزمون مشتق اول Max , min نسبی را پیدا کنید

F(x) =  1 x³ -  5x² + 6x +1

           3         2

روش حل :  ابتدا از معادله مشتق می گیریم . معادله را برابر با صفر قرار می دهیم و ریشه معادله را پیدا می کنیم . همیشه در معادلات مزدوج برای بدست آوردن ریشه معادله عدد اولی جمع و عدد دومی را ضرب در نظر می گیریم و  جمع آن عدد ها در ریشه و ضرب آن عددها در ریشه معادله را می نویسیم و مقدار F را برای ریشه های بدست آمده را بدست می آوریم و در آخر در جدول تعین علامت نقاط ماکس و مینمم را بدست می آوریم

مثال :با استفاده از آزمون اول ماکس و مینیمم را پیدا کنید

F (x) =      4- 3x            x ≥ 1

                 1 (x²+1)        x <1

                 2

چون تابع چند ضابطه ای است ابتدا باید

شرط پیوستگی را پیدا کنیم

شرط پیوستگی این است که مشتق از

 طرف مثبت و طرف منفی برابر باشد

قضیه آزمون مشتق دوم برای اکسترمم های نسبی :

فرض کنیم C یک نقطه بحرانی تابع F باشد و مشتق در F´(c) = 0 و همچنین F´ و F" در بازه باز شامل C وجود داشته باشد

1-     F" (c) < 0 باشد و F در C ماکس نسبی دارد

2-     F" (c) > 0 باشد و F در C مینیمم نسبی دارد

3-     اگر F´(c) = F"(c) = 0 باشد آنگاه آزمون تنتیجه ای ندارد

مثال :اگر  F(x)= x³ - 6x² + 9X + 3 باشد با استفاده از آزمون مشتق دوم ماکس و مینیمم نسبی را بدست آورید

توضیح حل مسئله : ابتدا مشتق را محاسبه کرده ، مساوی صفر قرار می دهیم ، ریشه های آن را تعین کرده سپس بعد از محاسبه مشتق دوم ریشه های بدست آمده را از مشتق لول ر داخل مشتق دوم قرار می دهیم و با توجه به آزمون دوم نقاط ماکس و مینیمم را پیدا می کنیم

تعریف : F (c) ماکزیمم مطالق روی دامنه اش می گوئیم هرگاه به ازای هر x از دامنه F ، F (c) بزرگتر از F (x) باشد

تعریف : مینیمم مطلق : هرگاه به ازای هر X از دامنه F ، F (c)  کوچکتر مساوی F(c) باشد

قضیه :اگر تابع F در بازه بسته [ a , b ]  پیوسته باشد ۀنگاه F داری ماکس و مینیمم مطلق روی این بازه است

مثال  : ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع F(x) = 2x³ - 9x² + 12x در فاصله بسته [ 0 , 3 ] پیدا کنید

توضیح حل مسئله : ابتدا مشتق اول را محاسبه  کرده ، ریشه های آن را تعین کرده ، سپس مقادیر F برای نقاط ابتدا و انتهای بازه و همچنین ریشه های مشتق اول را بدست می آورینم و بین این نقاط بیشترین ماکس مطلق و کمترین مینیمم مطلق می باشد و در مرحله بعدی جدول تعین علامت را برای تعین نقاط ماکزیمم و مینیمم رسم می کنیم

تقعر و تحدب و نقطه عطف :

نمودار تابع y = f(x) در نقطه ( a, f(x) ) مقعر است هرگاه

1- F´(a) موجود باشد

2- نمودار تابع در بازه بازی شامل (x =a) در بالای خط مماس بر نمودار در این نقطه باشد

نمودار تابع y = f(x) در نقطه ( a, f(x) ) محدب است هرگاه

1- F´ (a) موجود باشد

2- نمودار تابع در بازه بازی شامل (x =a) در پائین خط مماس بر نمودار در این نقطه باشد

قضیه :

اگر F"(C) >0  باشد آنگاه نقطه ( F(c) , C ) مقعر است

اگر F"(C) <0  باشد آنگاه نقطه ( F(c) , C ) محدب است

مثال : تعین کنید F(x) = x  - 2x³ + x² در چه بازه ای محدب و مقعر است

تعریف :( a , F(x) ) نقطه عطف تابع است

1- F´(a) موجود باشد

2- بازه بازی شامل a موجود باشد که به ازای هر x از این بازه الف ) اگر F"(x) > 0  <= x= 0 و اگر x < a

<= F" (x) < 0  است  ب ) اگر F"(x) <0   <= x >a و اگر F" (x) > 0  <=  X <a

مثال : F(x) = 2x³ + 3x² - 7x +1 در کدام بازه مقعر و محدب است نقاط عطف را تعین کنید

( عطف یعنی مشتق دوم تغیر علامت می دهد )

قضیه : فرض کنیم F در بازه بازی شامل (a) مشتق پذیر باشد و نقطه ( a , f(a) ) عطف باشد اگر F"(a) موجود باشد آنگاه F"(a) = 0 است

روش تعین نقطه عطف :

1- F"(x) = 0 باشد

2- F" (x) وجود نداشته باشد

رسم نمودار تابع :

تابع Y = f (x) اگر وقتی x → a+ یا - x → a به ∞ ± میل کند تابع مجانب قاتم دارد

در توابع  F(x) = P(x)   اگر صورت مخرج عامل مشترک نداشته باشد آنگاه مخرج g (x) = 0  است

            g (x)

مثال : تابع F (x) =       x – 3      مجانب قائم را پیدا کنید

              (x²-1) (x+2) 

تعریف : اگر ∞ ±X →  برود y → b   ( b یک عدد است ) برود مجانب افقی است

مثال : مجانب افقی  F(x) =   4x² -3x -1

        2x²+5x+7                       

مجانب مایل : اگر ∞ ±X →   برود نمودار مایلی مانند y = ax + b بدست می آید

1-     حد Lim  f (x) را حساب می کنیم مقدار آن را a قرار می دهیم

                      x  ∞ + x →

2- حد  Lim  f (x) – ax را حساب کنیم مقدار آن را b قرار می دهیم

                 ∞ + x →

مثال :F (x) =  4x² - 3x + 2

             x – 1             

اگر در معادله F(x , y ) = 0 با تبدیل  y → - y معادله تغیر نکند محور x ها محور  متقارن است

اگر با تبدیل x → - x معادله تغیر نکند محور y ها محور تقارن است

اگر با تبدیل x →  y   تغیر نکند  محور x = y محور تقارن است

اگر با تبدیل y →- y   تغیر نکند  محور مبدا محور تقارن است

رسم نمودار با استفاده از مشتق :

F (x) = x³ + 5x² + 3x -9

F´ (x) = 3x² + 10x +3      F´ (x) = 3x² + 10x +3 = 0      Δ = b² - aac = 10² - 4 (3×3) 

100 – 36 = 64          X1 =  - b + √ Δ  =  -10 + √ 64  =  -2  =  -1  

                                                2a                  2×3           6       3

X2 = X1 =  - b - √ Δ  =  -10 – 8   =  -18  = -3

                        2a             2×3            6

x	-∞    -3      -5       +∞
F´´	-	-	+	+
F´	+	-	-	+
F	محدب	محدب	قعر	مقعر

F(x) = x³ + 5x² +3x-4

F(-3) = (-3)³ + 5(-3)²+3(-3)-4 = 5

نمودار  را رسم کنید

وجود ندارد                      تعریف نشده

نقطه 0 نقطه بحرانی است

قضیه مقدار میانگین

اگر تابع f در فاصله بسته [a,b] پیوسته باشد و در فاصله باز (a,b) مشتق پذیر باشد حداقل یک نقطه مانند C در فاصله باز (a,b) وجود دارد که این رابطه  

مثال: در فاصله بسته [2,0] را در قضیه مقدار میاتگین بررسی کنید

                 X + 1 = 0 =>  X = -1

نکته : اگر F(x) دامنه IR باشد در نتیجه در IR پیوسته است

مثال : قضیه مقدار میانگین  را در بازه [0,1] حساب کنید

چون f یک تابع چند جمله ای است پس دامنه آن کلیه اعداد حقیقی است بنابراین در IR پیوسته است لذا f در فاصله [0,1] پیوسته است در نتیجه در فاصله باز (0,1) مشتق پذیر است

          C=0 , 3C-2=0

         3C-2=0  3C=2            

قضیه تیلور :

فرض کنیم تابع F(x) در اطراف نقطه a دارای مشتق از هر مرتبه ای باشد انگاه در هر نقطه x در اطراف X= a  داریم

! = فاکتوریل : هر عددی که بخواهیم از آن فاکتور بگیریم برگردیم به عقب تا یک

0! = 1     1! = 1    2! = 2×1=2   3! = 3×2×1=6    5! = 5×4×3×2×1=120

اگر در قضیه تیلور بجای a صفر قرار بدهیم می شود سری مکلورن

مثال : یری تیلور و مکلورن  در نقطه X= 1 را بدست آورید

مکلورن

مثال: بسط تیلور را در نقطه x=0 را بدست آورید

مشتق تابع نمای خودش می شود                                                            

تقریب تابع با استفاده از قضیه تیلور :

فرض کنیم f و n+1 مشتق پذیر باشد آنگاه

به ازای هر x از I وجود داشته باشد  عضو (x,c)

که اگر در این فرمول بجای n  صفر قرار دهیم قضیه مقدار میانگین بدست می آید

مثال : مقدار تقریبی را حساب کنید ( تقریب خطی )

توضیح حل مسئله : ابتدا مشتق اول و مشتق دوم را محاسبه کرده سپس مقدار X را 65 قرار می دهیم و C را 64 قرار می دهیم ( چون نزدیک ترین عدد به 65 در جزر گیری است ) در ادامه درقضیه تیلور جایگذاری می کنیم

           قانون: بهجای عدد ایکس می گذاریم

                      X = 65         C = 64

صورتهای مبهم :

 ،  ،  مبهم هستند و برای رفع ابهام از قاعده هوبیتال استفاده می کنیم

قاعده هوپیتال : اگر حد   و  باشد آنگاه

مثال :

برای رفع ابهام از قاعده هوپیتال استفاده می کنیم . ابتدا مشتق می گیریم . بعد عدد x را جاگزاری می کنیم

مثال :

                         قانون 

هوپیتال => دوباره هوپیتال  => 

نکته : اگر  و  باشد آنگاه حد

مثال :

                             عدد بر بی نهایت = صفر است

                      مشتق صورت

                                           مشتق مخرج

هوپیتال =>

حالت :   ، اگر  و   باشد آنگاه

مثال :

=> هوپیتال => => هوپیتال  = >

مثال :

           وجود ندارد 

    مشتق صورت   

مثال :

XLnx = 0 × ∞ => => هوپیتال  =>

مثال :

  هوپیتال  =>

حالت  : اگر  و   باشد آنگاه

مثال :

                                  قانون

هوپیتال=>

هوپیتال =>              =0

دیفرانسیل :

فرض کنید تابع y = F(x) تابع مشتق پذیر باشد و

فرمول محاسبه مقدار تقریبی یک تابع  

تعریف : هرگاه تابع Y=F(x) مشتق پذیر باشد دیفرانسیل y را با dy نمایش می دهیم و برابر است با

یا

مثال : مقدار تقریبی را با استفاده از مفعوم دیفرانسیل پیدا کنید

                x=16 نزدیکترین عدد به 18 است

      18-16=2         

=

مثال :مقدار تقریبی را با استفاده از مفهوم دیفرانسیل پیدا کنید

                     x=16 نزدیکترین عدد به 17 است

17-16=1  

مثال : دیفرانسیل تابع y= Ln(3x+4) را حساب کنید

Y=Ln(3x+4) =

مثال : و dy را برای را در نقطه x=0 با فرض  را محاسبه کنید

انتگرال نامعین :

تعریف : تابع F(x) را یک تابع اولیه یا ضد مشتق یا پاد مشتق F(x) در بازه I می نامیم اگر به ازای هر  x از I داشته باشیم F´(X) = f(x)

مثال : یک تابع اولیه برای f(x) =  بدست آورید

F(x) = => f(x) =

انتگرال ضد مشتق است

تعریف :  اگر F(x) یک تابع اولیه f(x) در بازه I باشد عبارت F(x) + x را که در آن c یک عدد ثابت است انتگرال نامعین تابع f می نامیم و با  نشان می دهیم بنابراین 

تابه F(x) را انتگرال و نماد را نماد انتگرال می نامیم

ویژگی های انتگرال نامعین :

فرض کنیم توابع g , f بر بازه I مشتق پذیر باشد .

 الف ) : اگر c عدد ثابتی باشد آنگاه

ب ) : در انتگرال که دو جمله دارد به این صورت است که

فرمولهای انتگرال گیری :

1)      :

2)      :

                                                                                                مثال

3)      :

                                                                               مثال

4)      :LN│X│+ C

2 LN│X│+ C                                                                                           مثال

5)      :  LN│u│+ C

LN ││+C                                                                                                        مثال

6)      :

                                                                                               مثال

7)      :

                                              مثال

      u= 5x →dx = 5dx                                                                                            مثال

مثال

u = -3x  =>  dx = -3dx

مثال

u =

2

8)      :                             ( a ≠ 1 , a > 0 )

  مثال

9)      :

مثال

u = 5x  = > du = 5dx

انتگرال توابع مثلثاتی :

1- 

2-du= -cosu + c

مثال :

 dx = ?

u = 5x = > du = 5du

5x 5×dx = u du =

3- cosx dx = sinx + c

4- cosu du = sinu + c

مثال :

مثال :

3x dx

u = 3x  du = 3dx

     3×dx     du =

5 -  dx = -Ln │cosx│+ C ویا   Ln │secx│+ C

6-  dx = Ln │Sinx│+ C

7-  dx = tag x + C

8-  dx = - cot x + C

9- x dx = secx + C

10-x dx = -csc x + C

11- dx =tgx + C

12- dx = - cotx + c

مثال :

 dx

dx +

مثال

=

=│x│-5

=│x│+ 5

مثال

=

مثال :

u dx = ?

dx + x du = sinx + Ln │sinu│+ C

مفهوم خطاها :

در اندازه گیری ها مقدار اندازه گیری شده با مقدار واقعی متفاوت است این تفاوت Δx اعم از این که مثبت یا منفی باشد خطای مطلق x می نامیم

با معیاری به نام خطای نسبی  می توان دقت اندازه گیری را بهتر سنجید این خطا به صورت درصد بیان می شود و خطای درصد یا درصد خطا نامیده می شود

مثال : طول ضلع مربعی با حداکثر خطای 0.5 سانتی  متر برابر 5.1 سانتی متر اندازه گیری شده است خطای نسبی درصد خطا در محاسبه مساحت مربع را حساب کنید

S =  مساحت مربع   ds = 2x dx

خطای نسبی  =

X = 5.1    dx = 0.5

در صد خطا  %196 ×100 = 1.96

روشهای انتگرال گیری :

روش اول ، روش تغیر متغیر : در این روش باید عبارتی به عنان متغیر u در نظر بگیریم سپس از طرفین تساوی بدست آمده مشتق گرفته و در انتگرال جاگزاری می کنیم . در حالت های زیر از تغیر متغیر استفاده می کنیم

1-     زمانی که عبارت چند جمله ای بصورت توان دار یا در زیر رادیکال یا در مخرج کسر واقع باشد . در این صورت عبارت داده شده را u در نظر گرفته و مانند بالا عمل می کنیم

2-     زمانی که تابع داده شده نمای باشد در این حالت اگر توان نمایی جمله ای غیر از x بود آن را u در نظر گرفته و مانند بالا عمل می کنیم

مثال حالت اول :

=

             du = 2x dx          از طرفین تساوی مشتق می گیریم 

مثال :

     du = 0 - 12    بجای صورت کسر می گزاریم              

در یک12- ضرب کرده و 12- تقسیم می کنیم                                             

 =

مثال

                       du = 10x dx

                                       یکی به توان اضافه می کنیم و با  معکوس در ضرب می کنیم                در 10 ضرب می کنیم    بر 10 تقسیم می کنیم

مثال :

         du =>    

مثال حالت دوم :

       du =

=           

مثال :

    du = 4x dx

مثال :

        du = 8x dx

روش دوم : روش جزء به جزء

زمانی که تابع انتگران ( داخل انتگرال) هیچ دام مشتق یک دیگر نباشد در این صورت انتگرال گیری جزء به جزء استفاده می کنیم . برای این کار ابتدا باید u را پیدا کنیم . برای محاسبه U اولوبت زیر را در نظر می گیریم

1-     توابع معکوس مثلثاتی و توابع لوگاریتمی

2-     چند جمله ای ها

از تساوی بالا مشتق می گیریم و سپس در فرمول جایگزاری می کنیم           

بعد از پیدا کردم u بقیه جملات انتگران را dv در نظر گرفته . سپس از این تساوی انتگرال می گیریم

مثال :

 u = x      du = dx

انتگرال =>       I = uv - => جاگزاری  => >

مثال :

u = n       du = dx

 => انتگرال =>           => 

I = uv -           

=

روش سوم : روش تجزیه کسرها

یک تابع گویا ( کسری ) تابعی است که بصورت خارج قسمت دو تابع چند جمله ای بیان شود . اگر در تابع گویای  که در درجه چند جمله ای p(x) بیشتر از درجه چند جمله ای q(x) باشد این کسر مجازی است و در این حالت می توان صورت را بر مخرج تقسیم کرد تا یک مسر حقیقی بدست آید . کسر ها بصورت  را در نظر می گیریم برای محاسبه انتگرال مخرج کسر را تجزیه می کنیم

مثال :

1 = (A+B) X – 2A + B  صورت کسر اول با صورت کسر آخر را با هم برابر می کنیم 

1 = (A+B) X – 2A + B  صورت کسر اول با صورت کسر آخر را با هم برابر می کنیم

 => A = -B = -   A= -

3B = 1             B =

│u│+c  =>  │x + 1 │+ Ln │x-2│+C

توضیح حل مسئله : در این روش ابتدا مخرج کسر را باید تجزیه کرد . سپس کسرها را تفکیک می کنیم در ادامه باید مقدار A و B را پیدا کنیم برای این کار مخرج مشترک گرفته صورت آخرین کسر را با صورت اولین کسر مساوی قرار می دهیم سپس با حل دستگاه مقدار A  و B را پیدا می کنیم . در ادامه A و B را جاگزاری کرده انتگرال می گیریم

مثال :

 صورت آخرین کسر را با اولین کسر برابر کی کنیم           

                             A = 0

1= Ax + A + B

                             A + B = 1 => B = 1

انتگرال معین :

ساخت یک ناحیه : تابع نامنفی y = f(x) در بازه [a,b] در نظر گرفته شده است مساحت ناحیه محدود به نمودار تابع نامنفی  y = f(x) و محور xها  و خطوط x = a و x = b برابر است با  

و اگر تابع f دربازه  [a,b] پیوسته باشد آنگاه حد بالا وجود دارد و تابع f روی بازه داده شده انتگرال پذیر است . انتگرال تابع از a تا b را با نماد  نمایش می دهند

قضیه اساس حساب دیفرانسیل و انتگرال :

فرض کنید تابع بر بازه بسته [a,b] پیوسته باشد اگر مشتق اولیه برابر بت f کوچک باشد  آنگاه

نکته: بنابرقضیهاسای بالا برای محاسبه انتگرال معین  کافی است یک تابع اولیه برای f مانند F پیدا کرد سپس تفاضل مقدار این تابع اولیه را در x = a  از مقدار آن در  x = b بدست آوریم

تذکر : C ثابت انتگرال گیری در مقدار انتگرال معین تاثیری ندارد . بنابراین مقدار انتگرال معین بستگی به انتخاب نوع تابع اولیه ندارد

مثال :

مثال :

        u = 4x + 1   = >   du = 4dx

خواص انتگرال معین :  فرض کنیم توابع f و g بر بازه بسته [a,b] پیوسته باشد آنگاه

1-

2-

3-

4-

5-     ،      

مثال :انتگرال معین تابع             F(x) =     را در بازه [0,3] محاسبه کنید

Lim F(x) = Lim F(x) = F(a) 

تابع F بر بازه [0,3] پیوسته است بنابراین f در این بازه انتگرال پذیر است

پیوسته است   

کاربردهای دیگر انتگرال معین :

مساحت ناحیه محدود به نمودار f(x) محور xها در بازه [x,b] از رابطه

مثال : مساحت ناحیه محدود به نمودار محور x ها و خطوط x = 0 و  x = 1 را محاسبه کنید

مثال : مساحت ناحیه محدود به نمودار تابع  محور x ها و خطوط X = -1 و X = 1  را بدست آورید

سطح محصور بین دو منحنی g , f  :

هرگاه توابع g , f بر فاصله بسته b , a پیوسته باشد برای محاسبه سطح محصور g , f  و خطوط x = b , x = a در صورتی که   باشد از رابطه

مثال : سطح محصور  g(x) = و F(x) = 2 –x و خطوط x = 1 و x = -2 را بدست آورید

محاسبه حجم حاصل از دوران :

حجم حاصل از دوران یک ناحیه حول محور جسم دوار نامیده می شود . حجم حاصل از دوران سطح محصور بین منحنی f و خطوط x = a و x = b و y = 0 حول محور x ها برابر است با

مثال : حجم حاصل از دوران محور  و خطوط y = 0  و x = 4 حول محور x ها را بیان کنید

مثال :  حجم حاصل از دوران سطح محور بین منحنی و y = 1 و  y = 8 و x = 0 حول محور  y  ها را بیان کنید

مثال :سطح محصور بین منحنی های F(x) = x و  و خطوط x = c و x = 3 حول محور xها مفروض است . حجم محصور بین دو منحنی را بنویسید

طول منحنی F :

مثال : طول منحنی  و بین خطوط x = 1 و  x = 2 را بیابید

تعریف جرم کل : انتهای چپ میله ای به طول L متر در مبدا قرار دارد اگر چگالی خطی در نقطه ای که x متر از آن فاصله دارد بر حسب کیلوگرم بر متر برابر با  و  بر [ 0 , L ] پیوسته باشد . آنگاه جرم کل میله m کیلو گرم است .

جرم            گشتاور جرم            مرکز جرم  

مثال:  مطلوب است مر کز جرم میله ای به طول 2 فوت ، اگر چگالی در نقطه ای به فاصله x فوت از انتهای چپ آن  باشد و = x

تعریف : فرض کنید L ورقه همگنی باشد که چگالی سطحی ثابتش K کیلو گرم بر متر مربع است و محصور بین منحنی

Y=f(x)  محور x ها و خطوط x = a و  x = b است تابع f بر [a,b] پیوسته است و به ازای جمع مقادیر x در [a,b] ، f (x) ≥0 اگر کشتاور جرم ورقه L نسبت به محور y ها my کیلوگرم بر متر باشد

واگر گشتاور ورقه L نسبت به محور x ها mx کیلو گرم بر متر باشد

                جرم کل

مرکز وار ورقه L 

مثال : مرکز وار ناحیه واقع در ربع اول و محصور بین منحنی  و محور x ها و خطوط x=1 و x = 4 را پیدا کنید

    جزر دوم    =>

اعداد مختلط :

تعریف : اگر a , b دو عدد حقیقی باشند هر عبارت به صورت a + bi را یک عدد مختلط می گویند . مجموعه این اعداد را مجموعه اعداد مختلط می گویند و با c نشان می دهند

C = { a + bi │ a , b ε IR , }

در عدد مختلط Z = a + bi   a را قسمت حقیقی و b را قسمت موهومی Z نامیده شده و Rez ( واقعی ) و Imz ( موهومی ) نشان می دهیم . اگر b = 0 عدد مختلط Z =a را با عدد حقیقی a مساوی می گیریم

تعریف : اگر z = a + bi  و W = c + di دو عدد مختلط باشند آنگاه Z =W  اگر و تنها اگر این رابطه برقرار باشد

تعریف : اگر z = a + bi  و W = c + di دو عدد مختلط باشند و K یک عدد حقیقی باشد اعمال جمع ، تفریق و ضرب را بصورت زیر تعریف می کنیم

Z + W = ( a + bi ) + (c + di ) => ( a + c ) + ( b + d )i

Z = W = ( a + bi ) - (c + di ) => ( a - c ) + ( b - d )i

Z × W = ( a + bi ) × (c + di ) => ac + adi + bci – bd

با توجه به تعریف چون  است پس بجای  می نویسیم –bd

K × Z = K ( a + bi ) = Ka + (kb )i

مثال : عبارت های زیر را بدست آورید .

Z = 2 + 5i       w = 3 – 2i     K = 2

Z + W = (2 + 5i ) + ( 3 – 2i ) = ( 3+ 2 ) + (5 – 2 )i = 5 + 3i

Z – W = ( 2 + 5i) – ( 3 – 2i ) = ( 2 – 3 ) + ( 5 – ( -2 )i = -1 + 7i

(2 + 5i) × ( 3 – 2i ) = (6 – 4i ) + ( 15i + 10 ) = ( 6 + 10 ) + ( 15i – 4i) = 16 + 11i

Kz = 2 ( 2 +5i ) = 4 +10i

تعریف : اگر Z = a + bi و یک عدد مختلط باشد عدد   را مزدوج Z می نامیم

Z = 5 + 3i         = 5 -3i

تعریف : اگر Z = a + bi   و W = c + di دو عدد مختلط و  باشد تقسیک دو عدد مختلط را بصورت زیر تعریف می کنیم

مثال : عبارت زیر را بدست آورید .

Z =     

=

قضیه : برای دو عدد مختلط W , Z روابط زیر بر قرار است

1-         2-        3-          4-           5-

مثال :Z = 1 + 2i              W = -2 -3i     

 ( 1 + 2i ) ×(1 – 2i) = ( 1 -2i) + (2i-(-4))= 1 + 4 = 5

( 1 + 2i)+(-2 +3i)=(1+(-2))+(-2i+3i)=-1+i

=

=

تعریف :  اگر Z = a + bi یک عدد مختلط باشد قدر مطالق z را با نماد│Z│ نمایش می دهیم

قضیه :  برای دو عدد مختلط w , z روابط زیر بر قرار است .

1-        2-    3-    4-

5-   6-         7-

مثال : عبارات زیر را در مجموعه اعداد مختلط حساب کنید .

1-

2- Z = 3 – 4i = >    Rez = 3    Imz = -4  

معادله های زیر را حل کنید :

نمایش های یک عدد مختلط :

نمایش دکارتی یک عدد مختلط : بین مجموعه اعداد مختلط و نقال صفحه مختصات می توان یک تناظر یک به یک به این صورت برقارا کرد که به هر عدد مختاط a + bi نقطه (a , b ) و به هر نقطه مانند ( c , d )  عدد مختلط c + bi نسبت دهیم در این حالت محور x  ها محور حقیقی و محور y ها محور موهومی نام دارد و فاصله z تا مبدا مختصات برابر  است . این نمایش را هندسی ، مربعی ، استاندارد نیز می گویند

نمایش قطبی عدد مختلط  : هرگاه نمایش هندسی عدد مختلط Z = a + bi در دستگاه مختصات دکارتی نقطه A باشد اگر را زاویه ای که بردار  با جهت مثبت محور x ها می سازد قرار دهیم شعاع  و چون قطبی استa = r cos    و  b = r sin  پس z می شود    نمایش فوق را نمایش قطبی یا مثلثاتی z می گویم و

نمایش قطبی عدد Z = i را بنویسید

Z= i    =>  Z = 0 + 1i       r = 1

قضیه :  فرض کنید z و w دو عدد مختلط باشند

Z= r (cosӨ + isinӨ)      ،       

1 :

2 :

3:

مثال :    و 

1:  => 

2:   => 

=

3:  => 

n = 3

ریشه های اعداد مختلط :

n ریشه متمایز عدد z می باشد و k برابر است با K= 0 , 1 , 2 , . . . , n-1     

مثال : ریشه های معادله  را در مجموعه اعداد مختلط بنویسید

n = 5     K = 0 , 1 , 2 , 3 , 4           Z = -1   =>  -1 +0i

Z = r(cosӨ+sinӨ) = > 1(cos     => 

K = 0 =>

K = 1 =>

K = 2 =>

K = 3 =>

K = 4 =>

ماتریس و دترمینان :

 هر جدولی از اعداد که شامل m سطر و n ستون باشد یک ماتریس m در n می نامیم .

1        2   3                                           1

0    1   2                                           2

1    0   1         3 سطر و 3 ستون            3      1ستون و 3 سطر

تعریف :

هرگاه ماتریس  تنها دارای یک سطر باشد آن را ماتریس سطری می گویند

هرگاه ماتریس  تنها دارای یک ستون باشد آن را ماتریس ستونی می گویند

اگر تمام عناصر ماتریس صفر باشد آن را ماتریس صفر می نامیم

ماتریسی که تعداد سطر ها و ستون های آن برابر باشد ماتریس مربعی یا همانی یا واحد  می نامیم و با In نمایش می دهیم

در ماتریس های که سطر و ستون آنها یکی است . به این قسمت قطر اصلی گفته می شود

         a11   a12 . . . a1n

         a21   a22 . . . a2n

         …………………

         an1    an2 . . . ann

دو ماتریس وقتی با هم مساوی هستند اگر تک تک درایه های آن دو به دو با هم مساوی باشند

1         2                                       1      2

2         4                =                     2      4

مثال : a را طوری پیدا کنید که دو ماتریس زیر با هم مساوی باشند

    3    -1         3   -1

2a    5         4    5

مثال :ماتریس های و  را در نظر بگیرید . مرتبه های A و B را تعین نموده و سپس همانی مربوط به هر ماتریس را بنویسید

تعریف : A ماتریس m×n و B ماتریس m×n باشد و K یک عدد حقیقی باشد

الف : حاصلجمع در ماتریس را با A + B نشان می دهیم ( تک تک درایه های هر ماتریس را با هم جمع می کنیم )

ب : حاصلضرب عدد حقیقی K در ماتریس A را با KA نمایش می دهی

نکته : با استفاده از تعریف الف باید تعداد سطر ها و ستون های ماتریس A و B یکسان باشد

مثال : فرض کنیم

A =                            B =                             A + B =

2A + 3B = ?

2A =                         2B =                         2A + 3B = 

تعریف :  اگر A ماتریس m×n باشد ماتریس -1 × A را قرینه A می دانیم

مثال :

A =                              -A =

تعریف : اگر  A ماتریس m×n باشد A – B را بصورت زیر تعریف می کنیم ( A را با قرینه B جمع می کنیم )

A =                   B =                     -B =                       A + (-B) =

قضیه :  اگر A , B , C سه ماتریس  m×n باشد و K و H در عدد حقیقی باشد آنگاه

الف : K ( A + B ) = KA + KB            ب : ( A + B ) + C =  A + ( B + C )

ج : K ( A + B )  = KA +KB              د : ( K + H ) A = KA , HA 

مثال :  فر ض کنید A =             B =                        C =      قضیه بالا را برای آن محاصبه کنید و K = 3  و H = 5

الف : A + B = B +A              ب : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

             =                                         +             =               ==              +              =

ج : K ( A + B ) = KA +KB

3 ( A + B ) =                                             +             =                     

د : ( K + H ) A = KA + HA       

( 3 + 5 )A =                                              +              =

مثال :  فرض کنیم A=           و B=             باشد ماتریس C را طوری پیدا کنید که 3A – 2C = 4B باشد

3A =              -2C =             -2C =              -              =                     C =

ضرب دو ماتریس :

حاصلضرب دو ماتریس A×B را بصورت زیر محاسبه می کنیم

A =          × B =          =          

                   سطر  ×ستون                   سطر  ×ستون

در صورتی حاصلضرب دو ماتریس A×B وجود دارد که  این رابطه بر قرار باشد

سطر دومی = ستون اولی

مثال :A =                            B=                             

A × B =                                                                                          = 

قضیه :  اگر A ماتریس مربع n × n باشد 

مثال :

                  =             ==                        =

قضیه :اگر A  و B و C 3 ماتریس باشند <=  (AB)C = A(BC)

قضیه :اگر A  و B و C 3 ماتریس باشند <=  C(A+B) = CA + CB

ترانهاده ماتریس :

اگر در ماتریس A جای سطر ها و ستون ها را بایکدیگر عوض کنیم ماتریس حاصل ترانهاده ماتریس A می باشد و آن را با  نمایش می دهند

A =                                =

B =                                 =

قضیه : اگر A  و B  د. ماتریس MхN باشد و K عدد حقیقی باشد

الف : ترانهاده ، ترانهاده هر ماتریس خودش است

ب : ترانهاده حاصلضرب عدد K در A برابر است با KхA ترانهاده A

ج : تذانهاده مجموع دو ماتریس برابر است با ترانهاده اولی + ترانهاده دومی

د : ترانهاده حاصلضرب دو ماتریس برابر است با ترانهاده دومی х ترانهاده اولی

مثال : K =3           A =                B=               

1- ()=          = ()=

2- (          =

3-          +         =>

4-                   =

دترمینان ماتریس دو در دو :

در دترمینان ماتریس A را با یا detA نمایش می دهیم

حاصلضرب عناصر قطر اصلی – حاصلضرب عناصر قطر فرعیad- cb   =                           A=

مثال :

A =                 = (14) – ( 23)= 4 – 6 = -2

B=                  = ( 06) – ( 5 1) = -5      

دترمینان ماتریس n × n                                                                                                           سطر    

detA= ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ain Ain

ستون                        

AiJ

مثال :

A=           فرمول                                  AiJ

روش حل : 1- انتخاب هر سطر یا ستون دلخواه

ستون سوم +سطر اول             ستون دوم +سطر اول           ستون اول+سطراول               

عدد اول سطر اول    فرمول        عدد دوم سطر اول                       عدد سوم سطر اول

مثال :

A =                         = 2

خواص دترمینان :

1-     دترمینان ماتریس A با دترمینان ترانهاده اش برابر است

2-     اگر تمام عناصر یک سطر با یک ستون ماتریس A صفر باشد انگاه دترمینان A صفر است

 یا       

3-     اگر تمام عناصر یک سطر یا یک ستون ماتریس A را در عددی مثل r ضرب کنیم دترمینان r برابر می شود با

4-     دترمینان ماتریس حاصل از تعویض دو سط یا دو ستون ماتریس A مساوی با منفی دترمینان A می باشد

5-     اگر دوسطر یا دو ستون ماتریس برابر باشند دترمینان آن صفر است

6-     دترمینان حاصل از جمع مضرب اسکالری ( عددی ) از یک سطر(ستون) یا سطری(ستون) دیگر از ماتریس A مساوی دترمینان A است

              2R1+R2→R1        

                            دوبرابر سطر اول + سطر دوم← برود به سطر دلخواه مثل R1

7-     دترمینان حاصلضرب دو ماتریس A×B برابر است با دترمینان ماتریس اول ضرب در دترمینان ماتریس دوم

8-     دترمینان ماتریس قطری برابر است با حاصلضرب عناصر روی قصر اصلی

9-     دترمینان ماتریس همانی (n×n , 2×2 , 3×3) برابر است با یک

10- دترمینان ماتریس مثلثاتی برابر است با حاصلضرب عناصر قطر اصلی

مثال : دترمینان ترانهاده را پیدا کنید

      => بنابر خاصیت یک

  مثال :

          بنابر خاصیت دوم

      بنابر خاصیت پنجم . دوستون یکسان دارد

مثال:

 = =>

مثال :   و               

تعریف :

ماتریس A را منفرد گوئیم هرگاه دترمینان Aبرابر صفر باشد و در غیر اینصورت دترمینان آن عدد شود آن را منفرد گوئیم

تعریف :

ماتریس مربع A با درایه های  nn را وارون پذیر گویئم اگر ماتریس مانند B با در ایه های nn وجود داشته باشد بطوری که از هر طرفی ضرب کنیم هر دو تا بود همانی AB=BA=In . اگر A ماتریس وارون پذیر باشد آنگاه وارون آن تنها یمی باشد آنرا با نشان می دهیم

محاسبه ماتریس وارون  ماتریس A :

برای محاسبه ماتریس وارون با استفاده از دترمینان از روش زیر استفاده می کنیم . دترمینان A را بدست آورده ، آن را معکوس می کنیم (وارون می کنیم مثلا 2 =>) سپس ماتریس الحاقی آن را بدست می آوریم

 برای محاسبه ماتریس الحاقی به روش زیر عمل می کنیم . ماتریس را بسط داده(گسترش می دهیم ) وتنها فرق آن با محاسبه دترمینان این است که در هر مرحله که سطر ها را بسط می دهیم نیاز به نوشتن درایه هر سطر نیست در مرحله آخر همه درایه ها معلوم شدند بصورت یک ماتریس آنها را می نویسیم . ترانهاده ماتریس بدست آمده ماتریس الحاقی می باشد .

 فرمول الحاقی                

ستون   سطر                 ستون اول + سطر اول   

 ,   ,  A22 = -5  ,  A23 = 3  A31=-5

A32 = 4  , A33 = -1     adjA=>ترانهادهT =

روش دوم بدست آوردن وارون ماتریس A :

مثال : وارون ماتریس  را تعین کنید با استفاده از تعریف وارون ماتریس

AB = BA= I    فرضی در نظر می گیریمB

           AB = I

          =                                          =

 اعمال سطری مقدماتی :

ماتریس A n×n را در نظر گرفته

1-     تعویض دو سط ماتریس A

2-     ضرب یک سطر ماتریس A در عدد غیر صفر

3-     افزودن مضرب از یک سطر ماتریس A به سطر دیگر

نکته : برای سطر از حرف R استفاده می کنیم

مثال :

ماتریس A را به وسیله اعمال سطری مقدماتی همانی کنید

باید تبدیل شود به   

نکته : اگر دترمینان ماتریس A صفر شود در این صورت ماتریس A وارون ندارد

مثال :

نشان دهدید ماتریس  وارون ندارد

از سطر دوم یک 2 خارج می کنیم  از ستون وسط تقسیم بر     می کنیم

وارون ندارد . چون ستون اول و دوم با هم برابراند در نتیجه دترمینان صفر است و وارون ندارد

حل دستگاه ها به روش ماتریس :

معادله های بصورت a1x1+a2x2+ … +anxn با N مجهول x1 , x2 , . . . xn را یک معادله n مجهولی خطی می نامیم و n تای (X1 , X2 , …, Xn ) از اعداد حقیقی که در این معادله صدق می کند یک جواب آن می باشد . مجموعه ای از معادلات خطی

را دستگاه m معلدله خطی n مجهولی می نامیم و n تایی(a1,…an ) از اعداد حقیقی را که در تمام معادله های دستگاه صدق می کند یک جواب دستگاه می نامیم

جواب های یک دستگاه :

1- یک جواب دارد   2- بی نهایت جواب دارد 3- اصلا جواب ندارد

روش کرامر : اگر ماتریس ضرایب یک دستگاه n معادله ای n مجهولی وارون پذیر باشد آنگاه تنها جواب دستگاه برابر است با

نکته :  اگر تعداد مجهولها با تعداد معادله های یک دستگاه خطی برابر باشد و ماتریس ضرایب دستگاه وارون پذیر باشد آنگاه دستگاه همواره دارای یک جواب منحصر بفرد است

برای روش کرامر ابتدا دترمینان ماتریس A را بدست آورده سپس برای بدست آوردن دترمینان detA1به جای ستون اول ماتریس A، ماتریس طرف دوم را قرار می دهیم سپس دترمینان آن را محاسبه می کنیم در ادامه برای بدست آوردن دترمینان detA2 به جای ستون دوم ماتریس طرف دوم دستگاه را جاگزاری کرده و دترمینان آن را محاسبه می کنیم و برای محاسبه دترمینان detA3 به جای ستون سوم ماتریس طرف دوم را قرار می دهیم و دترمینان آن را محاسبه می کنیم

مثال : دستگاه زیر را از روش کرامر حل کنید

ابتدا ماتریس را بیرون می کشیم                                                                      

بجای ستون اول ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم

بجای ستون دوم ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم

بجای ستون سوم ماتریس A طرف دوم دستگاه را قرار می دهیم

قضیه : اگر A , B  دو ماتریس مربع n×n وارون پذیر باشد آنگاه ماتریس حاصلضرب AB وارون پذیر است

نکته :  اگر دستگاه m معادله خطی n مجهولی طرف دوم تمام معادلات صفر باشددستگاه را همگن می نامیم

قضیه : دستگاه n معادله خطی n مجهولی دارای یک جواب غیر بدیهی( غیر صفر) است اگر و تنها اگر دترمینان ماتریس ضرایب دستگاه صفر باشد

مثال :دستگاه زیر را حل کنید

چون سمت راست همه صفر است همگن است